必要软件

程序员的命：Shell

先装个zsh，然后google一下‘oh my zsh‘，安装一下，然后安装我最喜欢的jump插件，想跳哪里跳哪里。

字典 Goldendict

作为一个外国人，首要的任务是查字典，Linux最佳选择就是的goldendict，德语字典在这里有Duden字典和Wahrig字典都是比较好用的字典，英文字典我推荐柯林斯双解字典。

Markdown编辑器

Markdown编辑器首选的显然是typora，三大操作系统平台都可以使用自如。

云记事本

无论在windows下，还是Mac下，wiznote都是一个用起来最方便的记事本软件。现在wiznote已经收费，这是好事儿，一直不收费很有可能会维持不下去，但是一定会赶走一大批用户。我用wiznote三年有余，但是linux下它表现并不好。尝试了一下Gitnote，感觉很不错，只要我们有个github账户，自己建立一个repository，我就有最安全方便的笔记存储空间了。

寻找Mac下Alfred替代品

在Mac下已经被Alfred惯出毛病，没有它，浑身不舒服。简单搜索，还真被我找到了，它就是Synapse。简单使用了一下，感觉非常不错，把快捷键改成ALT+Space，设置成开机启动，相当舒服。

中文输入法

实际上在linux下输入发可选择范围基本确定，ibus或者fcitx。由于我更习惯使用双拼，对我的选择就更少了，看了几种方案，最后选择了RIME（中州韻輸入法引擎）。其实在Mac下我之前用过搜狗拼音输入法，基本上是秒卸载，相当一段时间，我一直使用baidu拼音输入法。一方面是由于百度做任何事情没有底线，另一方面，有时我爱人用我的电脑，会被我的双拼设置搞崩溃。最后发现RIME输入发是相当对我的口味。没想到在linux下又重逢，谷歌一下，简单设置一下，双拼大法好。

先安装这些，后面有需要再安装。对了，对于极其丑陋的thunderbird，我选择狗带，明天试一下nylas。

Mint安装Seurat包

Mint是基于Debian和Ubuntu的Linux操作系统。实验室统一开发环境是Mint，用

1

cat /etc/linuxmint/info

查了一下我的Mint版本号是Mint19。打开Rstduio按照Seurat的安装步骤：

1
2

install.packages('Seurat')
library(Seurat)

第一步就出错了，ggplot2安装失败，原因是其依赖的另一package无法找到。由于目前不在实验室，当时没有记录，所以无法回忆其当时的包名。Google搜索后发现这个包要求R需要是>3.5。所以我的目前的主要任务集中在怎样把目前的R3.4版本升级至3.5。网上一堆教程，都是通过更新recv-keys，例如：

1
2
3

apt-key adv --keyserver keyserver.ubuntu.com --recv-keys xxxxxx
sudo apt-get update
sudo apt-get upgrade r-base r-base-dev

多次尝试，包括修改source.list文件内容均告失败。最后的办法是把原来的R版本所有包都卸载，重新安装信版本。

1
2
3
4
5
6

sudo apt purge r-base* r-recommended r-cran-*
sudo apt autoremove
sudo apt update
sudo add-apt-repository 'deb https://cloud.r-project.org/bin/linux ubuntu bionic-cran35/'
sudo apt-key adv --keyserver keyserver.ubuntu.com --recv-keys E084DAB9
sudo apt update

安装r-base-core后，即可以做后续的安装工作了。打开Rstudio，发现已经是R3.5版本了。

有了Sparkasse银行卡

头一天预约昨天中午12点去银行办理Sparkasse银行卡。提前20分钟到，到窗口拿出预约卡片，工作人员说，你预约的是12点，提前来了等着就行了。还好大概11:52左右，美女工作人员找到我等待的座位上去她办公室办理银行卡。整个过程就是不断的签字，办理的类型是大家普遍推荐的Girokonto。由于头一天的预约的时候，已经把落户材料和以及护照等复印了。昨天中午就只要了invitation letter作为学生的证明。期间她向我详细解释了的各种银行卡的的功能细节，并告诉我需要安装两个软件：pushTAN 和 Sparkasse客户端。第一个是类似产生实时密钥的软件，第二个就是手机银行了。详细给我解释清楚了，并帮我把关键过程标注好，银行卡的事情搞定了。

突然感觉非常饿

办完银行卡，突然感觉非常饿，看到döner标志性的肉滚子，我就进了这家土耳其餐厅

这份饼有点儿贵，7.5欧，已经走不动更远了，感觉坐下吃。味道是一般，但是他们的饼很有特色，像似一个布袋子，想装什么馅装什么馅吃，终于吃过瘾了，现在得坐车去实验室看看签合同还差什么。

晴天霹雳

导师见到我说我们之间可能产生了一些误会，因为学校personal affair已经把签合同的list发给我了。我其实之前拿到这个list，一直不想麻烦导师，但是一直找不到秘书（⊙㉨⊙）。导师很nice的跟我一条一条的过，其中一条是出生证明！！！！

我看到这一条，感觉晴天霹雳，因为弄出生证明，难上加难，估计还得需要我回国。我跟导师说，如果需要这个东西的话，可能还会花上数周。

还有一个没有办理的是无犯罪证明，导师跟我说只要在我办an的地方办理即可以，所以今天我再起个大早去办这个Führungszeugnis Belegart ‘0’。

办理无犯罪证明

早上起了大早，坐公交7:10就到了火车站边上的办公楼，在寒风瑟瑟中等到7:30。

这次拿到的是4号，坐在等候厅里等到8点，很快就叫道我，办理非常简单，交了13欧元，告诉我1-2周之内会邮到需要这个文件的地方，我填错了，填的我导师的地址，其实应该邮给personal affair。拿到回单，去了趟TK，告诉他们我这周还是签不了合同，他们表示理解。火速去实验室再去见导师。

Personal affair

跟导师说我材料准备好了，导师把personal affair的地址打印出来。我按图索骥，在风雨中无法打伞，因为风随时会把伞吹折。大概半小时后，找到了personal affair的地方，发现没有人在。在走廊里等待了大概30分钟，发现有人进去了，我火速敲门。工作人员把我接进来，我介绍自己是我导师的学生，她把我部分材料复印了一下，告诉我有结婚证认证就不需要出生证明了，哈哈。25号左右她说会通知我过来签合同。

大部分事情已经搞定，到了启动专心搞研究的阶段了。

落户办银行卡

德国的2楼实际是三楼。德国人可能基因里就写了程序员的性格，早就知道程序员数字从零开始。

出发去anmelden

昨天晚上重新盘点了所有an的材料，听说要手填一大堆信息。把所有的关键信息包括护照等全部誊写到一张纸上。早上5:30起床，吃了昨天中超老婆给买的方便面，6:47左右出门，坐车到ponttor。再倒车13A到火车站Aachen Hauptbahnhof。到地点大概是7:31。刚进门的位置有个取号机器。点一下取号机取号即可。我取到了8号。去等候厅等候。等候厅有两个显示器，会显示哪个号去哪个柜台办理。办理就在取号厅对面的0层的大厅里。主要要的材料是房东填写的的Wohnungsgeberbestätigung以及护照。如果结婚，需要中国的德国大使馆和外交部的双认证材料，并且由经过宣誓过的人翻译认证。我找的liuxiaoqing (chinese-translation-service-liu@hotmail.de)翻译。周五白天邮过去，周六告诉我已经收到。并在周一发出。材料笔记齐全，办事人员只问了我的之前住址以及是否有宗教信仰。如实回答即可。昨晚准备的所有的关键信息全没用到，反而没记录的之前住址让我写下来。

延签

既然已经在这里了，那么何妨去2楼看看延签的事宜。跑去2楼，找了一大圈，就是没找到取号的机器。回到0层，继续咨询，咨询台的人告诉我，2楼有个和0楼一样的取号机，上去继续找不到。找了一个中国人模样的人，问是否懂文，他说不会，但是用英文问我有什么问题。我说怎么找到取号机，他说在对面大厅的角落里，有个取号机。我始终不得要领，我脑海里的取号机应该和一楼的大个子一样大。没想到，是一个大概30＊20的挂在墙上的铁盒子。这个帮我按了下按钮，出来个644，现在是598。这个亚裔小伙还告诉我，自己取号的这个厅是现场排队，人山人海。他在对面的厅，是提前预约的，只有五六个人。等了大概2个小时，终于轮到我，拿出护照给工作人员看，人家一看说，不用延签。到期前8周内过来延签。需要提前去Super C office。什么也做不了。那就回来吧。

Sparkasse预约开卡

已经计划好，直接坐车去Sparkasse总部。到了那里，说要open an account，前台咨询人员问我，[呐抹]，说了好几遍，我完全不知所云，边上一个穆斯林女孩告诉我是name，这才反应过来。原来是要名字，不断感谢。让我去H-O的区域排队。办事员英语很不熟，一长串德语，一句没听懂，然后说：Do you speak German. 赶紧说我说英语。然后说给我预约明天中午12:00，跟我说让我找Rebort 女士。然后说She speaks really good English。复印完我的an的材料以及invitation letter 和护照。愉快的离开了。

回住所

所有事情已经办完，可以回家了。天开始下雨，这边的雨可真奇怪，说下就下，说停就停。关键是刚来这段时间的感受是：下的雨是打伞觉得必要性不大，不打伞一会儿就淋湿。回家补觉去。

如果不是要赶紧落户注册，也不会这么着急找可以长租的房子里。没有an什么都办不了。Sparkasse银行卡开不了户，理论上说，银行卡开不了户，只要交钱的事儿啥也办不了。

记得预约啊

在德国，无论做什么事情，第一件映入我们脑海的条件反射似的念头如果是[怎么预约？]，那么我们离真正能解决这个问题就不远了。好在i Live campus 官方网站有英语版本。在几乎耗尽了所有耐心都没有找到一个适合我们两个人可以an的住址以后。早上4点，毫无睡意，开始在facebook上、WG-Gesucht上挨个住房信息点，2小时后，我突然想起来实验室秘书给我邮件说的i Live campus. 我一个激灵，开始在官方网站上到处点。突然发现可以找到了预约看房的时间表，而且当天8:00就有一个空位。还不赶紧的，说是迟，那是快，第一时间点预约。悲伤的是，网站上显示，需要1-2个工作日可以确定我的预约可否被接受。既然已经预约了，是否成功先不说了，先去碰碰运气，没准能让看房呢。朦胧中，跟老婆说，需要8点看房，这还睡什么，赶紧起来洗漱准备出发了。

大概提前10分钟到，从前面看赶紧楼非常新，周边的还有正在建的楼。从门进去，前台的ben非常热情的接待了我们，他竟然知道我们要来。我还以为没人处理我的预约请求呢。他带着我们电梯去了6楼，告诉我们这就是我邮件里总部人员答应可以租给我的房子，然后说有朝阳一面的一间可以选择。阴面的另一间也可以选择，但是他建议我租朝阳的这间。第一观感是，所有的家具的都是全新的，小冰箱藏在柜子里面，不打开完全发现不了，洗碗机也藏在柜子里呢。他给我介绍的过程中，我爱人开始到处兴致勃勃的打量。我敢肯定，这时我们俩肯都都马上爱上这里了。要知道，卧室和客厅各有一扇大落地窗，通向阳台。在阳台上极目远眺真是心旷神怡。Ben带着我们参观完，我就开始问一大堆问题，比如我没有银行卡，第一个月的房租怎么交。房租是按月交还是如何。我说我决定要租这间房子了，能否帮忙加速，因为an完以后还有一大堆事情要处理，而当务之急就是要an。Ben告诉我他们会帮我加速，然后说，可以在网站上操作，要租这个房子。回来的路上，我和老婆特别兴奋，终于可以有落户的房子了。房子的事情解决了。

牛顿公寓奇遇

实际上在来看这个房子之前，只看过一家，就是牛顿公寓的loft。本来预约要下午2点看房，我从实验室里出来，正好溜达到了牛顿公寓，闲来无事，想问一下牛顿公寓的管理员这边的房间情况。我用英语说了几句，他很无奈的说，I don’t speak English。给我拿了个pad，我用英语敲下了，我想租我们两个人的房间，请问是否有空房。右边显示了德语的翻译。他用pad回应我，这个公寓是单人公寓，不能租双人的房间。交流实在是麻烦，虽然我知道现在就有两人住在一个房间里的，也不想跟他继续交谈了，其实是他不想跟我们交谈。借一张别人的照片：

离下午2点还有3个小时，微信联系了下转租的人，说正好马上要回来，可以带我们看看房，很高兴。等了大概半个小时，两个同学就过来了，我们一口气爬了6层，气喘吁吁的进到屋里。房间很大，有100多平，当然是楼上楼下加起来。中间有个大沙发，各种家具加阳台上的健身器材都是可以nach给我们，当然要花钱喽。我发现他们在一个桶里泡了衣服，就问这里没有洗衣机么？他们说楼下有洗衣房需要花钱洗，一些小件的衣服就他们就在这里洗了。然后我们就爬到楼上看看，楼上是卧室，空间不小，放五张床估计还有挺大空间工作学习，但只有个单人床。因为是loft，所有有一面比较低矮。楼梯是比较难受，很窄，并且特别陡，爬上去的时候是相当艰难。我俩问了an的事情，他们的说法是可以先短租2个月左右，然后再跟公寓签合同，目前属于短租类型。就在我和我老婆觉得这个还行的时候，我开始琢磨如果买个洗衣机应该放在哪里的时候，突然发现厨房里好像没有水池。我问他们怎么没有水池，他们说，有一个租客吧水池改成了洗碗机，把水池给取消掉了。我真是惊掉了下巴，这个租客的脑回路真是清奇，不想洗碗，就搞个洗碗机。做饭需要用水么，不会的，这辈子都别想了。问道他们的时候，他们说自己也很少做饭，有事用水就在厕所洗菜等。看看拥挤小巧的卫生间，我和老婆知道这个房子基本是不会租了。不能自己做饭的地方怎么住呢？！

搬家

之前去牛顿公寓看房也算没白看，要转租的学生告诉我了两个重要信息：1. 如果想看国内的节目，可以用免费的穿梭软件；2. 他们找了一个搬家的服务，市内搬家只需要35欧元。签合同的事情简短结说，需要邮过去，条款都是英文写的。无意中登录i-live网站，发现可以预约搬家时间了，就赶紧约上搬过来的时间，上面有周一11点，那么就上午11点吧。预约完了几个小时后，发现邮箱里呆着总部提示我可以预约搬家时间，汗！

上午10点5分，师傅开了个超大的车来了。好在我们都把东西搬到楼下了，5分钟内把东西搬上车，8分钟开到目的地，10:20左右就已经到了i-live-campus。Ben很惊讶，因为我们预约的11点，提前到了，我赶紧跟Ben说抱歉，来早了，时间预估不好，德国人守时可见一斑。还好他目前没有其他事情，然后开始签字，交钱，签了3份字，交了三分钱。之后我们把大大小小的箱子行李一趟用搬上了6楼。Ben还给我们准备了钥匙以及一些小礼物放在一个建议背包里，很Nice的present。我们上楼以后，Ben开始给我们把家里的各种设施的介绍使用方法以及看是否有问题。问了一大堆问题，都细心解答。终于住进来了，真是非常兴奋。按照我老婆的说法，就是一个字：高级。高级果子，高级糖，高级老头上食堂。内外一新的房间真是让人心情舒畅。对了，可以an的文件已经拿到了。终于可以落户了(๑•̀ㅂ•́)و✧

博客的评论系统

希望把博客的评论系统建立起来，之前使用的是disqus，重新部署的时候，页面大部分都无法显示。不想再用disqus。看到有人创造性的利用github作为载体建立评论系统，也就是Gitment了。
按照教程在github上设置了Gitment，惊闻Gitment需要请求服务，是作者搭的，作者已经不维护了。按照以下操作：

1

npm i --save gitment

修改自己js，连接自己搭建的服务器，WTF？

1

/node_modules/gitment/dist/gitment.browser.js

详细修改过程可参照：
https://sherry0429.github.io/2019/02/12/gitment%E4%BF%AE%E5%A4%8D/

后继续寻觅其他可以评论系统，找到这篇文章：
https://wangjiezhe.com/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-3/
根据此文章的教程安装了utterances。目前发现还是比较不错。知识现在看到的效果是全局评论。
issue-term不太了解具体，目前不想深入探究，仅仅设置pathname。

不再折腾主题，乖乖的切到Next

又一次，今年年初的又一次，博客系统hexo下的maupassant主题又罢工了。由于年初的各种事情繁琐而多，我就放弃治疗博客系统了，也就是说，有新的博文也无法发出来，先不管那些报错了。

现在稍微腾出一点儿时间，准备把博客系统好好弄一下。其实最简单的办法，也是屡试不爽的方法就是把所有的环境重新安装一遍，显示hexo，再是maupassant。这次不灵了，hexo generate之后一堆报错。我甚至觉得maupassant已经无法搞定了，搜索错误的关键词，发现没有人遇到与我相同的问题。最后是怀疑我文章里有公式的特殊字符，影响markdown parse。修改了hexo-renderer-marked的js，仍然有问题。最后决定换其他主题了，然而只要把所有的文章迁移过来一定会报错。报错如下：

1
2
3
4
5
6
7
8

INFO  Start processing
FATAL Something's wrong. Maybe you can find the solution here: http://hexo.io/docs/troubleshooting.html
Template render error: (unknown path) [Line 65, Column 565]
  expected variable end
    at Object._prettifyError (/Users/chengmingbo/blog_deploy/blog/node_modules/nunjucks/src/lib.js:36:11)
    at Template.render (/Users/chengmingbo/blog_deploy/blog/node_modules/nunjucks/src/environment.js:542:21)
    at Environment.renderString (/Users/chengmingbo/blog_deploy/blog/node_modules/nunjucks/src/environment.js:380:17
    ... ...

好吧，一切从头来，一个文件一个文件的添加，每次hexo generate一下。终于找到了一个有问题的文件。先注释掉再说，后面慢慢查是什么特殊字符引起的问题。好在可以更新博客了。

反复

选定了Next主题，又出现了反复，加上评论系统disqus发现博客白屏了，只有一个文件头显示。可是加功能一时爽，调试火葬场。当时实在记不起来到底是加了什么使得博客又不工作了。只能重头再来。在找主题的过程中发现star排名第四的hexo-theme-apollo已经停止开发，作者一句话让我决定不再折腾什么主题了：

1

专注文章内容的创作胜过博客样式的美观，祝各位玩的开心:

后续工作

1. 追查出什么特殊字符引起了hexo generate出现问题
2. 看是否能复原评论系统，如果不能先这样吧，只要不耽误写博文。

办不完是琐事，跳不尽的坑

来德国之前，还有贵人相助，避免了很多不必要的麻烦。但是，仍然遇到很多之前没有预料到的事情。从杜塞尔多夫，师姐男朋友接机到了airbnb住处开始，激活电话卡原本在中国小而又小的问题，在这边儿折腾了我俩两个星期。去见教授，教授说需要先找到房子落户后才能签合同，而且银行卡也得需要用落户证明。而没有准时入学，我买的TK公保无法生效，我爱人的私保care-concept也还没交钱。而找房子本身又是一个艰巨的任务。接下来还有很多事情要办，好在大部分的事情都按计划进行。

1. 入住

airbnb提前订好房子，师姐男朋友找了好久才找到精确定位。到了门口，发现不知道怎么找房东。而手机目前没有网。之前在淘宝买的giffgaff卡没有提前激活。在机场找淘宝客服激活，告知需要提前两天，赶紧告知能否帮忙加速激活下。但是到了airbnnb的房子，是不要指望现在有网了。只能请师姐夫开一会儿WIFI登录一下airbnb，想办法联系一下房东。鼓捣了好久，才发现房东说自己不在家，在图书馆学习。留言请房东过来。师姐夫回程的人正催他回去，只好在门口等着了。还好房东很快回来，大包小包10个，几趟才搬上来。房间很大，大概有35平。大概聊一下，房东来德国读研究生，英语授课。他运气比较好，过来airbnb，直接就把房东的房子整租下来了。然后拿其中一间作为airbnb挣些外快。

2. 电话卡

师姐提前帮忙给我和爱人买了两张预付费的telekom卡。据师姐说，只需要有护照，视频验证一下就可以用了。马不停蹄，我马上开始打开电话卡研究。根据说明书打开网站，一步一步的输入。本想15分钟内也能解决战斗，30分钟后，我已经换了3个浏览器了，要不然就是打不开视频页面，或者说打开了页面对方听不到我，或者看不着我。好容易连上一个客服，可以看到听到我，验证了5分钟信息后，发现我填写的信息，她根本看不到，结果就是，让我重新换个浏览器继续验证。最好只好用手机chrome浏览器连接到客服，这次好嘛，什么都是好的，就是他们听不到我。结果是客服V5，在我不能说的情况下，硬是给我验证通过了。前前后后折腾了3个小时，终于搞定，可以打电话和上网了。

可是说的我爱人的电话卡，可比这个艰难多了。当天弄完我的，想着马上把老婆的电话卡激活。有了前面的成功经验，直接拿我的电话浏览器输入我老婆的信息。可是，这次不灵了，然后我把我两个人的所有电子设备上的浏览器都试了一遍，无解，连个人影都没看到。我还在疯狂的尝试的时候，老婆已经崩溃，说先睡觉吧，找时间再弄。没想到这个找时间弄，一弄就弄了两个星期。每天，我都会拿出1个多小时去填激活的材料，填一遍，点视频验证。搞到后来，基本所有填的信息我都能背下来。好嘛，照样显示等待0分钟，没有任何其他反应。然后我们尝试第二条路，去telekom的营业厅碰碰运气。上来人家就问有没有an，当然还没落户了，所以灰头土脸的出来了。突然有一天，有个人过来对话，我们还没来得及回应，人家就把线断了。然后又是漫长无用的尝试。3.8妇女节，可能是上天觉得过节，不能让女性再受折磨了，这次竟然有人出来了，然后花了大概10分钟，一切搞定。

小小的电话卡竟然折腾我们这么长时间，也是奇葩了。周末人家还不工作，弄得我抓耳挠腮，想干嘛都找不到人。

3. 食物

很多人觉得美食在亚洲，德国是美食荒漠。来了这几天感受是，还是可以找到很多美食，和中国做法是不一样，但是各有特色。我的最爱是döner – 一种土耳其人带到德国，并在德国发扬光大的食物。有时候我在想，很多人在欧洲生活一段时间头发会秃，是因为缺乏维生素。可是döner的搭配如果作为每天的主食，怎么会缺乏维生素呢。döner很类似中国的肉夹馍，但是馅料课丰富多了，包馅料的馍跟西安美食不同的是，饼虽然是提前蒸好的，但是做之前会用锅把两面加热至酥脆。味道的层次有多了一分。而说到味道的层次，可能需要说一下内容了。首先，切开的馍馍两面需要抹上特殊的酱料，酱料不同家有不同的配方，最后呈现出的味道也就产生变化了。肉是一直在烤的，据我观察，他们会提前把肉一层一层的叠罗汉，叠罗汉中间会放一些调味品以及淀粉物质用来黏合各个层之间。叠好的罗汉像似一个倒挂的大花瓶，外层烤好后，厨师就会刮掉一层。保证放在döner里的都是有焦面的肉。而馅料里面的东西更加丰富多彩，如大头菜丝，西红柿块，圆葱丝等等。由于döner个头实在太大，除非长了个牛嘴，不然很难一口咬下去涉及到所有的层次部分。最关键的是什么呢，döner是超级便宜的，大概3欧左右，一个人就可以吃的很饱。想想中国的肉夹馍，我连吃3个，肚子还咕咕叫。

汉堡是德国的一个海港城市，以前很多生意人出海都是通过汉堡。而汉堡包实际上就是从汉堡港出发的德国人带给世界的美食礼物。无从考证到底具体是哪里人发明了汉堡，但想吃到正宗的汉堡，无疑应该是在发源地德国了。在亚琛市中心乱逛发现了一家专门做汉堡的店面，然后就马上种草了。中午的时候我强烈要求要去这家汉堡店品尝一下当地美食。这家专门做汉堡的店果然没让我们失望。汉堡和刚刚说的döner类似，都是有丰富的层次，但是汉堡层次更加鲜明。牛肉饼是其中担当，奶酪西红柿，酸黄瓜，奶油以及各种东西都可以一层一层叠在一起。而酱料也是其中最不可或缺的溶剂，把所有口味融合在一起。这种专业做汉堡的店做出来的汉堡和我们在麦当劳吃的速食汉堡是有天壤之别的。可以这么说，麦当劳吃的汉堡，只能用来充饥，换句话说，就是让我们饿不死。可是这里的汉堡是真正的美食享受。再加上薯条配上六七种自选酱料。用餐体验完全不可同日而语。

4. 公交

来到德国才发现中国的公交费用可真是便宜到家了。两三公里的距离每个人2.8欧，什么概念，两个人一起出趟门，再回来，如果都是公交出行，好嘛，90块人民币没了。这要是天天坐公交谁能坐得起。可是不坐公交，在北京习惯徒步几公里，来了这里，突然感觉不灵了。最后还是决定坐公交吧。本来想着注册成学生就可以马上有学期票了，不但便宜，还可以整个北威州横着走。没成想，同事跟我说，如果注册成学生，需要找个第二导师，他去年5月份就来了，到现在还是没有注册成学生，依然每月买月票。不想继续每天上车买票了，其实上车买票还有个问题，就是耽误时间，德语的目的地发音又发不懂，整个一车人都得等着。所以去ASEAG总部去买了个月票。月票购买实在简单，70欧元，不记名。想问下，能不能晚上或者周末带人，告知从今年的二月份已经没有带人的说法了。只能自己买自己的了。公交是一笔大花销，可是相对与住房，就是小巫见大巫了。

待续… …

Pmf of Poisson Distribution is as follows:

$$f(X=k;\lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

Our aim is to derive the the expectation of $E(X)$ and the variance $Var(X)$. Given that the formula of expectation:
$$
E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k e^{-\lambda }}{k!}
$$

Notice that when $k=0$, the formula is equal to 0, that is:

$$\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\Large|_{k=0}=0$$

Then, the formula become as followed:

$$E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$$

$$\begin{aligned}E(X)&=\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}\&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}\lambda e^{-\lambda}}{(k-1)!}\&=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\end{aligned}$$

Now we need take advantage of Taylor Expansion, recall that:

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$$

Compare $E(X)$, we can get:

$$E(X)=\lambda e^{-\lambda}e^\lambda=\lambda$$

As known that $Var(X)=E(X^2)-(E(x))^2$, we just get $E(X^2)$. Given that:

$$E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\lambda$$

we can use this formula to derive the $E(X^2)$,

$$\begin{aligned}E(X)=&\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\lambda\\Leftrightarrow&\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k}{k!}=\lambda e^{\lambda}\\Leftrightarrow&\frac{\partial\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k}{k!}}{\partial \lambda}=\frac{\partial \lambda e^{\lambda}}{\partial \lambda}\\Leftrightarrow&\sum_{k=1}^{\infty}k^2\frac{\lambda^{k-1}}{k!}=e^\lambda+\lambda e^\lambda\\Leftrightarrow&\sum_{k=1}^{\infty}k^2\frac{\lambda^{k-1}e^{-\lambda}}{k!}=1+\lambda \\Leftrightarrow&\sum_{k=1}^{\infty}k^2\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\lambda+\lambda^2=E(X^2)\end{aligned}$$

then,

$$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\lambda+\lambda^2-(\lambda)^2=\lambda$$

Thus, we have proved that the Expectation and the Variance of Poisson Distribution are both $\lambda$

原文作者：Vincent Spruy

译者：程明波

英文文章地址

译文地址

译者注：由于历史原因，高斯分布(Gaussian Distribution)，正态分布(Normal Distribution)皆指概率密度函数形如$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$的分布。文中我会采用正态分布的提法。

简介

本文，呼应标题，我将推导著名正态分布数据均值和方差的计算公式。如果一些读者对于这个问题的“为什么”并不感兴趣，仅仅是对“什么时候使用”感兴趣，那答案就非常简单了：

如果你想预估一份数据的均值和方差(典型情况)，那么方差公式除的是$N-1$，即：

$$\sigma^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2$$

另一种情况，如果整体的真实均值已知，那么方差公式除的就是$N$，即：

$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2$$

然而，前一种情况，会是你遇到更典型的情形。一会儿，我会举一个预估高斯白噪音的离散程度例子。例子中高斯白噪音的均值是已知的0，这种情况下，我们只需要估计方差。

如果数据是正态分布，我们可以完全用均值$\mu$和方差$\sigma^2$刻画这个分布。其中，方差是标准差$\sigma$的平方，标准差代表了每个数据点偏离均值点的平均距离，也就是说，方差表示了数据离散程度。对于正态分布，68.3%的数据的值会介于$\mu-\sigma$和$\mu+\sigma$之间。下面图片展示是一个正态分布的概率密度函数，他的均值是$\mu=10$,方差是$\sigma^2=3^2=9$：

图1. 正态分布概率密度函数. 对于正态分布数据，68%的样本落在均值$\pm$方差。

通常，我们拿不到全部的全体数据。上面的例子中，典型的情况是我们有一些观察数据，但是，我们没有上图中x轴上所有可能的观察数据。例如我们可能有下面一些观察数据：

表1

现在如果我们通过把所有值相加并除以观察的次数，得到经验均值：

$$\mu=\frac{10+12+7+5+11}{5}=9\tag{1}$$.

通常，我们会假设经验均值接近分布的未知的真实均值，因此，我们可以假设观测数据来自于均值为$\mu=9$的正态分布。在这个例子中，分布真实均值是10， 也就是说，经验均值实际上接近于真实均值。

数据的方差计算如下：

$$\begin{aligned}\sigma^2&= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2\&= \frac{(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2+(5-9)^2+(11-9)^2}{4})\&= 8.5.\end{aligned}\tag{2}$$

同样，我们一般假设经验方差接近于基于分布真实未知方差。在此例中，真实方差是9，所以，经验方差也是接近于真实方差。

那么我们手上的问题现在就是为什么我们用于计算经验均值和经验方差的公式是正确的。事实上，另一个我们经常用于计算方差的公式是这样定义的：

$$\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2 \&= \frac{(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2+(5-9)^2+(11-9)^2}{4}) \&= 6.8.\end{aligned}\tag{3}$$

公式(2)和公式(3)的唯一不同是前一个公式除的是$N-1$，而后一个除的是$N$。两个公式都是对的，只是根据不同的场景使用不同的公式。

接下来的部分，我们针对给定一个正态分布的样本集，完成对其未知方差和均值最好估计的完整推导。我们将会看到，一些情况下，方差除的是$N$，另一些情况除的是$N-1$。

用一个公式近似一个参数(均值或方差)叫做估计量。下面，我们定义一个分布的真实但未知的参数为$\hat{\mu}$和$\hat{\sigma}^2$。而估计量，例如，经验的平均和经验方差，定义为$\mu$和$\sigma^2$。

为了找到最优的估计量，首先，一个整体均值为$\mu$标准差为$\sigma$的正态分布，对于特定的观察点$x_i$，我们需要一个分析相似的表达式。对于一个已知参数的正态分布一般定义为$N(\mu,\sigma^2)$。似然函数为：

$$x_i \sim N(\mu,\sigma^2) \Rightarrow P(x_i; \mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}.\tag{4}$$

为了计算均值和方差，显然，我们需要这个分布一个以上的样本。接下来，设$\vec{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_N)$为包含所有的可用样本的向量（例如：表一中所有的值）。如果所有这些样本统计独立，我们可以写出联合似然函数为所有似然函数的乘积：

$$\begin{aligned}P(\vec{x};\mu,\sigma^2)&=P(x_1,x_2,\cdots,x_n;\mu,\sigma^2)\&=P(x_1;\mu,\sigma^2)P(x_2;\mu,\sigma^2)\cdots P(x_N;\mu,\sigma^2)\&=\prod_{i=1}^{N}P(x_i;\mu,\sigma^2)\end{aligned}.\tag{5}$$

把公式(4)代入公式(5)，可得出联合概率密度函数的分析表达式：

$$\begin{aligned}P({\vec{x};\mu,\sigma})&=\prod_{i=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_i-\mu)^2}\&=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{N}{2}}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\end{aligned}.\tag{6}$$

公式(6)在接下来的部分将非常重要。我们会用它推导关于正态分布著名的估计量均值和方差。

最小方差，无偏估计量

决定一个估计量是不是“好”估计量，首先我们需要定义什么是真正的“好” 估计量。说一个估计量好，依赖于两个度量，叫做其偏差(bias)和方差(variance)(是的，我们要讨论均值估计量的方差，以及方差估计量的方差)。本节将简单的讨论这两个度量。

参数偏差

想象一下，如果我们能拿到全体不同的(互斥)数据子集。类比之前的的例子，假设，除了【表1】中的数据，我们还有完全不同观察结果表2及表3。那么，一个关于均值好的估计量，应该使得这个估计量平均下来等于真实的均值。我们可以接受其中一个自己的经验均值不等于真实均值，但是，一个好的估计量应该保证：对于所有子集均值估计的平均值等于真实均值。这个限制条件用数学化的表示，就是估计量的期望值(Expected Value)应该等于参数值：

$$E(\mu)=\hat{\mu}\qquad E(\sigma^2)=\hat{\sigma}^2.\tag{7}$$

如果满足上面的条件，那么这些估计量就被称之为“无偏估计”。反之，如果上面的条件不满足，这些估计量叫做“有偏的”，也就是说平均来看，他们或者低估或者高估了参数的真实值。

参数方差

无偏估计量保证平均来看，它们估计的值等于真是参数。但是，这并不意味着每次估计是一个好的估计。比如，如果真实均值为10，一个无偏估计量可以估计全体的其中一个子集的均值为50，而另一个均值为-30。期望的估计的值确实是10，也等于真是的参数值，但是，估计量的质量明显依赖每次估计的离散程度。对于全体5个不同子集，一个估计量产生的估计值(10,15,5,12,8)是无偏的和另一个估计量产生的估计值（50，-30，100，-90，20）（译者注：原文作者最后一个是10，我计算换成20，这样均值才是10）。但是第一个估计量的所有估计值明显比第二个估计量的估计值更接近真实值。

因此，一个好的估计量不仅需要有低偏差，同时也需要低方差。这个方差表示为平均平方误差的估计量：

$$Var(\mu)=E[(\hat{\mu}-\mu)^2]$$

$$Var(\sigma^2)=E[(\hat{\sigma}-\sigma)^2]$$

因此一个好的估计量是低偏差，低方差的。如果存在最优的估计量，那么这个估计应该是无偏的，而且方差比所有的其他可能估计量都要低。这样的一个估计量被称之为最小方差，无偏（MVU）估计量。下一节，我们将会针对一个正态分布推导均值和方差估计量的数学表达式。我们将会看到，一个正态分布的方差MVU估计量在一些假设下需要除以$N$，而在另一些假设下需要除以$N-1$。

最大似然估计

基于整体的一个子集，尽管有大量的获取一个参数估计量的技术，所有这些技术中最简单的可能就数最大似然估计了。

观察值$\vec{x}$的概率在公式(6)定义为$P(\vec{x};\mu,\sigma^2)$. 如果我们在此函数中固定$x$和$\sigma^2$，当使$\vec{x}$变化时，我们就可以获得图(1)的正态分布。但是，我们也可以固定$\vec{x}$，使$\mu$和（或）$\sigma^2$变化。比如，我们可以选择类似前面例子中的$\vec{x}=(10,12,7,5,11)$。我们选择固定$\mu=10$，同时使$\sigma^2$变化。图(2)展示了当$x$和$\mu$固定时，$\sigma^2$对于这个分布取不同值的变化曲线：

图 2. 此图表示了似然函数在特定观察数据$\vec{x}$，下固定$\mu=10$，$\sigma^2$变化曲线。

上图，我们通过固定$\mu=10$，令$\sigma^2$变化计算了$P(\vec{x};\sigma^2)$的似然函数。在结果曲线的每一个数据点代表了似然度，观察值$\vec{x}$是一个正态分布在参数$\sigma^2$下的样本。那么对应最大似然度的参数值最有可能是从我们定义的分布中产生数据的参数。因此，我们能通过找到似然度曲线的最大值决定最优的$\sigma^2$。在此例中，最大值在$\sigma^2=7.8$，这样标准差就是$\sqrt{(\sigma^2)=2.8}$。事实上，如果给定$\mu=10$，通过传统的方法计算，我们会发明方差就是7.8：

$$\frac{(10-10)^2+(12-10)^2+(7-10)^2+(5-10)^2+(11-10)^2}{5}=7.8$$

因此，基于样本数据的方差计算公式只需要简单的通过找到最大的似然函数的最高点。此外，除了固定$\mu$，我们可以使$\mu$和$\sigma^2$同时变化。然后找到两个估计量对应在两个维度的似然函数的最大值。

要找一个函数的最大值，也很简单，只需要求导使其等于0。如果想找一个有两个变量函数的最大值，我们需要计算每个变量的偏导，再把两个偏导全部设置为0。接下来，设$\hat{\mu}_{ML}$为通过极大似然方法得到的总体均值的最优估计量，设$\hat{\sigma}^2_ML$为方差的最优估计量。要最大化似然函数，我们可以简单的计算它的(偏)导数，然后赋值为0，如下：

$$\begin{aligned} &\hat{\mu}{ML} = \arg\max\mu P(\vec{x}; \mu, \sigma^2)\ &\Rightarrow \frac{\partial P(\vec{x}; \mu, \sigma^2)}{\partial \mu} = 0 \end{aligned}$$

及

$$\begin{aligned} &\hat{\sigma}^2_{ML} = \arg\max_{\sigma^2} P(\vec{x}; \mu, \sigma^2)\ &\Rightarrow \frac{\partial P(\vec{x}; \mu, \sigma^2)}{\partial \sigma^2} = 0 \end{aligned}$$

下一节，我们将利用这个技术得到$\mu$和$\sigma^2$的MVU估计量。我们考虑两种情形：

第一种情形，我们假设分布的真正的均值$\hat{\mu}$是已知的，因此，我们只需要估计方差，那么问题就变成在参数为$\sigma^2$的一维的极大似然函数中对应找其最大值。这种情况不经常出现，但是，在实际应用中确实存在。例如，如果我们知道一个信号(比如：一幅图中一个像素的颜色值)本来应该有特定的值，但是，信号被白噪音污染了（均值为0的高斯噪音），这时分布的均值是已知的，我们只需要估计方差。

第二种情形就是处理均值和方差的真实值都不知道的情况。这种情况最常见，这时，我们需要基于样本数据估计均值和方差。

后面我们将看到，每种情形产生不同的MVU估计量。具体来说，第一种情形方差估计量需要除以$N$来标准化MVU。而第二种除的是$N-1$。

均值已知的方差估计

参数估计

如果分布的均值真实值已知，那么似然函数只有一个参数$\sigma^2$。求最大似然估计量也就是解决：

$$\hat{\sigma^2}{ML}=\arg\max{\sigma^2} P(\vec{x};\sigma^2).\tag{8}$$

但是，根据公式(6)的定义，如果计算$P(\vec{x};\sigma^2)$涉及到计算函数中指数的偏导。事实上，计算对数似然函数比计算似然函数本身的导数要简单的多。因为对数函数是单调递增函数，其最大值取值位置与原似然函数是一样的。因此我们用下面的式子替换：

$$\hat{\sigma}^2_{ML}=\arg\max_{\sigma^2}\log(P(\vec{x};\sigma^2)).\tag{9}$$

下面，我令$s=\sigma^2$简化式子。我们通过计算公式(6)的对数的导数赋值为0来最大化对数似然函数：

$$\begin{aligned}&\frac{\partial \log(P(\vec{x};\sigma^2))}{\partial \sigma^2}=0\&\Leftrightarrow\frac{\partial\log(P(\vec{x};s))}{\partial s}=0\&\Leftrightarrow\frac{\partial}{\partial s}\log\left(\frac{1}{(2\pi s)^{\frac{N}{2}}}e^{-\frac{1}{2s}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2} \right)=0\&\Leftrightarrow\frac{\partial}{\partial s}\log\left(\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\right)+\frac{\partial}{\partial s}\log\left(\frac{1}{\sqrt{s}^\frac{N}{2}}\right)+\frac{\partial}{\partial s} \log\left(e^{-\frac{1}{2s}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}\right )=0\&\Leftrightarrow0+\frac{\partial}{\partial s}\log\left((s)^{-\frac{N}{2}}\right)+\frac{\partial}{\partial s}\left(-\frac{1}{2s}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2\right)=0\&\Leftrightarrow -\frac{N}{2}\log (s)+\frac{1}{2 s^2}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2=0\&\Leftrightarrow -\frac{N}{2s}+\frac{1}{2s^2}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2=0\&\Leftrightarrow \frac{N}{2s^2}\left(-s+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2\right)=0\&\Leftrightarrow\frac{N}{2s^2}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2-s\right)=0\end{aligned}$$

很明显，如果$N>0$，那么上面等式唯一的解就是：

$$s=\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2.\tag{10}$$

注意到，实际上$\hat{\sigma}^2$的极大似然估计估计量就是传统上一般计算方差的公式。这里标准化因子是$\frac{1}{N}$.

但是，极大似然估计并不保证得出的是一个无偏估计量。另外，就算得到的估计量是无偏的，极大似然估计也不能保证估计是最小方差，即MVU。因此，我们需要检查公式(10)的的估计量是否是无偏的。

表现评价

我们需要检查公式(7)的等式是否成立，来确定是否公式(10)中的估计量是无偏的。即判断：

$$E(s)=\hat{s}.$$

我们把公式(10)代入到$E(s)$，计算：

$$\begin{aligned}E[s] &= E \left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2 \right] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N E \left[(x_i - \mu)^2 \right] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N E \left[x_i^2 - 2x_i \mu + \mu^2 \right]\&= \frac{1}{N} \left( N E[x_i^2] -2N \mu E[x_i] + N \mu^2 \right)\&= \frac{1}{N} \left( N E[x_i^2] -2N \mu^2 + N \mu^2 \right)\&= \frac{1}{N} \left( N E[x_i^2] -N \mu^2 \right)\end{aligned}$$

另外，真实方差$\hat{s}$有一个非常重要的性质为$\hat{s}=E[x_i^2]-E[x_i]^2$，可变换公式为$E[x_i^2]=\hat{s}+E[x_i]^2=\hat{s}+\mu^2$。使用此性质我们可能从上面的公式推出：

$$\begin{aligned}E[s]&=\frac{1}{N}(N E[x_i^2]-N\mu^2)\&=\frac{1}{N}(N\hat{s}+N\mu^2-N\mu^2)\&=\frac{1}{N}(N\hat{s})\&=\hat{s}\end{aligned}$$

满足了公式(7)的条件$E[s]=\hat s$，因此，我们得到的数据方差$\hat s$的统计量是无偏的。此外，因为极大似然估计的如果是一个无偏的估计量，那么也是最小方差(MVU)，也就是说，我们得到的估计量比任何一个其他的估计量都大。

因此，在分布真实均值已知的情况下，我们不用除以$N-1$，而是用除$N$计算正态分布的方差。

均值未知的方差估计

参数估计

上一节，分布的真实均值已知，因此，我们只需要估计数据的方差。但是，如果真实的均值未知，我们均值的估计量就也需要计算了。

此外，方差的估计量需要使用均值的估计量。我们会看到，这时，之前我们得到的方差的估计量就不再无偏了。我们一会儿会通过除以N-1，而不是N来稍微的增加方差估计量的值，从而使方差估计无偏。

与之前一样，基于log似然函数，我们用极大似然估计计算两个估计量。首先我们先计算$\hat\mu$的极大似然估计量：

$$\begin{aligned}&\frac{\partial \log(P(\vec{x}; s, \mu))}{\partial \mu} = 0\&\Leftrightarrow \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \frac{1}{(2 \pi s)^{\frac{N}{2}}} e^{-\frac{1}{2s}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2} \right) = 0\&\Leftrightarrow \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{N}{2}}} \right) + \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left(e^{-\frac{1}{2s}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2} \right) = 0\&\Leftrightarrow \frac{\partial}{\partial \mu} \left(-\frac{1}{2s}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2 \right) = 0\&\Leftrightarrow -\frac{1}{2s}\frac{\partial}{\partial \mu} \left(\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2 \right) = 0\&\Leftrightarrow -\frac{1}{2s} \left(\sum_{i=1}^N -2(x_i - \mu) \right) = 0\&\Leftrightarrow \frac{1}{s} \left(\sum_{i=1}^N (x_i - \mu) \right) = 0 \&\Leftrightarrow \frac{N}{s} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i) - \mu \right) = 0 \end{aligned}$$

显然，如果$N>0$，那么上面的等式只有一种解：

$$\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i.\tag{11}$$

注意到，实际的这是计算一个分布均值的著名公式。虽然我们知道这个公式，但我们现在证明了极大似然估计量估计了一个正态分布未知均值的真实值。现在我们先假定我们之前公式(10)计算的方差$\hat s$的估计量仍然是MVU方差估计量。但下一节我们会证明这个估计量已经是有偏的了。

表现评价

我们需要通过检查估计量$\mu$对真实$\hat \mu$的估计是否无偏来确定公式(7)的条件能否成立：

$$E[\mu]=E\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i\right]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N E[x_i]=\frac{1}{N}N E[x_i]=\frac{1}{N} N \hat\mu=\hat\mu.$$

既然$E[\mu]=\hat\mu$，那么也就是说我们对分布均值的估计量是无偏的。因为极大似然估计可以保证在估计是无偏的情况下得到的是最小方差估计量，所以我们就已经是证明了$\mu$是均值的MVU估计量。

现在我们检查基于经验均值$\mu$，而不是真实均值$\hat\mu$的方差估计量$s$对真实方差$\hat s$的估计身上仍然是无偏的。我们只需要把得到的估计量$\mu$带入到之前在公式(10)推导出的公式：

$$\begin{aligned} s &= \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2\&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(x_i - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i) \right)^2\&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left[x_i^2 - 2 x_i \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i) + \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i) \right)^2 \right]\&=\frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N} - \frac{2\sum_{i=1}^N x_i \sum_{i=1}^N x_i}{N^2} + \left(\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \right)^2\&=\frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N} - \frac{2\sum_{i=1}^N x_i \sum_{i=1}^N x_i}{N^2} + \left(\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \right)^2\&=\frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \right)^2\end{aligned}$$

现在我们需要再次检查公式(7)的条件是否成立，来决定估计量是否无偏：

$$\begin{aligned} E[s]&= E \left[ \frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \right)^2 \right ]\&= \frac{\sum_{i=1}^N E[x_i^2]}{N} - \frac{E[(\sum_{i=1}^N x_i)^2]}{N^2} \end{aligned}$$

记得我们在之前用过方差一个非常重要的性质，真实方差$\hat s$可以写成$\hat s = E[x_i^2]-E[x_i]^2$，即，$E[x_i^2]=\hat s + E[x_i]^2=\hat s +\mu^2$。利用这个性质我们可以推出：

$$\begin{aligned} E[s] &= \frac{\sum_{i=1}^N E[x_i^2]}{N} - \frac{E[(\sum_{i=1}^N x_i)^2]}{N^2}\&= s + \mu^2 - \frac{E[(\sum_{i=1}^N x_i)^2]}{N^2}\&= s + \mu^2 - \frac{E[\sum_{i=1}^N x_i^2 + \sum_i^N \sum_{j\neq i}^N x_i x_j]}{N^2}\&= s + \mu^2 - \frac{E[N(s+\mu^2) + \sum_i^N \sum_{j\neq i}^N x_i x_j]}{N^2}\&= s + \mu^2 - \frac{N(s+\mu^2) + \sum_i^N \sum_{j\neq i}^N E[x_i] E[x_j]}{N^2}\&= s + \mu^2 - \frac{N(s+\mu^2) + N(N-1)\mu^2}{N^2}\&= s + \mu^2 - \frac{N(s+\mu^2) + N^2\mu^2 -N\mu^2}{N^2}\&= s + \mu^2 - \frac{s+\mu^2 + N\mu^2 -\mu^2}{N}\&= s + \mu^2 - \frac{s}{N} - \frac{\mu^2}{N} - \mu^2 + \frac{\mu^2}{N}\&= s - \frac{s}{N}\&= s \left( 1 - \frac{1}{N} \right)\&= s \left(\frac{N-1}{N} \right) \end{aligned}$$

显然$E[s]\neq\hat s$，上面公式可知分布的方差估计量不再是无偏的了。事实上，平均来看，这个估计量低估了真实方差，比例为$\frac{N-1}{N}$。当样本的数量趋于无穷时($N\rightarrow\infty$)，这个偏差趋近于0。但是对于小的样本集，这个偏差就意义了，需要被消除。

修正偏差

因为偏差不过是一个因子，我们只需通过对公式(10)的估计量乘以偏差的倒数。这样我们就可以定义一个如下的无偏的估计量$s\prime$：

$$\begin{aligned} s\prime &= \left ( \frac{N-1}{N} \right )^{-1} s\s\prime &= \left ( \frac{N-1}{N} \right )^{-1} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2\s\prime &=\left ( \frac{N}{N-1} \right ) \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2\s\prime &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2\end{aligned}$$

这个估计量现在就是无偏的了，事实上，这个公式与传统计算方差的公式非常像，不同的是除的是$N-1$而不是$N$。然而，你可能注意到这个估计量不再是最小方差估计量，但是这个估计量是所有无偏估计量中最小方差的一个。如果我们除以$N$，那么估计量就是有偏的了，如果我们除以$N-1$，估计量就不是最小方差估计量。但大体来说，一个有偏的估计量要比一个稍高一点方差的估计量要糟糕的多。因此，如果当总体的均值是未知的情况下，方差除的是$N-1$，而不是$N$。

总结

本文，我们推导了如果从分布数据中计算常见的方差和均值公式。此外，我们还证明了在方差估计中，标准化因子在总体均值已知时是$\frac{1}{N}$，在均值也需要估计时是$\frac{1}{N-1}$。

本文PDF